摘要：中学数学建模是在教师的引导下，学生遵循数学建模的典型环节，综合运用数学知识、自主研究解决实际问题的实践活动。本文以家用汽车的经济时速问题为例，对初中数学函数建模活动进行了教学设计。
　　关键词：初中;数学建模;教学设计
　　中图分类号：G4 文献标识码：A
　　一般而言，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。相应地，数学建模是应用及建立数学模型来解决各种实际问题的方法。
　　1 教学目标
　　理解函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要數学工具，掌握函数建模的过程和一般方法，能构建函数模型解决生活中的实际问题。经历函数建模的完整过程，通过实际参与建模活动不断深化模型意识和模型思想，能发现生活情境中蕴含的函数关系，将现实问题的抽象分析转化为数学问题，并选择合适的数学方法进行求解、验证。
　　2 教学内容分析
　　本节课的实际情境来源于生活，根据生活经验和实际测量的数据我们发现，汽车在行驶过程中油耗和速度的关系大致为：当速度很低时，汽车油耗非常高;当速度很高时，汽车油耗也非常高。因此我们把汽车在油耗最小时的速度定义为家用汽车的经济时速。运用函数模型，根据已有数据绘制散点图进行模型求解，最终得出家用轿车的经济时速是 111km/h。
　　3 学情分析
　　处于八年级下学期的学生对函数知识已有所接触，具备相应的数学知识基础。学生的生活经验较为丰富，有能力通过网络或询问长辈等方式获得关于日常行驶过程中的节油行为的间接经验，也有亲身参与数学建模的活动经验，初步具备一定的合作交流能力、阅读分析能力、逻辑推理能力、数学表达能力、抽象概括能力、查阅资料能力、数学写作能力等，，足够支撑开展数学建模活动。
　　4 教学过程
　　4.1 情境创设
　　师：近几年，私家车的数量越来越多，由此引发的环境问题不断增多，油价也越来越高。在购买汽车时，很多人都优先考虑购买较省油的车型，当然我们也要重视经济省油的驾驶方式。
　　请分析某一车型（如一汽大众·朗逸）在日常行驶过程中的节油行为，忽略次要因素，找出汽车行驶过程中影响油耗的主要因素。
　　生：日常行驶过程中的节油行为有：轻踩刹车、油门;经常清理汽车后备箱，不在车内放重物;高速少开窗，低速多开窗;保持一个稳定而合理的行驶速度等。其中保持一个稳定而合理的行驶速度是汽车行驶过程中影响油耗的主要因素。师：这个速度是多少呢？我们今天一起来研究家用汽车的经济时速。
　　4.2 提出问题
　　下表显示的是大众·朗逸型小轿车行驶速度与相应油耗的关系：
　　师：根据表格数据和生活经验，我们发现了什么？
　　生：在行驶过程中汽车的油耗和速度的关系大致为：
　　（1）当速度很低时，汽车油耗较大;
　　（2）当速度很高时，汽车油耗也比较大。
　　师：家用汽车在油耗最小时的速度是多少呢？
　　4.3 解决问题
　　师：选择合适的数学研究工具对于问题的解决至关重要，我们已经学习过的函数是刻画和研究变化过程中量与量之间的关系的一种重要数学工具，所以我们可以建立一个函数模型。函数有三种表示法，我们应该选择什么方法来表示问题中的函数关系呢？
　　生：通过表格可以预测油耗最小时的速度在100-120km/h之间。本问题中油耗与速度不是一次函数，目前我们无法求出该函数的解析式，故可以画出函数的图像进行进一步预测。学生活动：根据表格中数据画出散点图，并用平滑的曲线连接起来，观察函数图像可以发现家用汽车在油耗最小时的速度。
　　研究结论：通过研究，我们初步判断此实验车型的经济时速为 111km/h。也就是说，当本车高速行驶时（如在高速公路行驶），一直保持该经济时速可以有效降低油耗。
　　师：如何对研究结果进行检验呢？
　　生：在数据测量过程中，多次测量取平均值以减少误差，还可以使用图形计算器、MATLAB、Geo Gebra 等计算机软件画出更加准确的图像。
　　4.4 拓展研究
　　拓展一：如果想计算自家汽车的经济时速，需要做哪些必要的模型假设呢？应该如何进行数据采集呢？模型假设：速度平稳变化时，汽车耗油量变化较为平稳;汽油质量造成的油耗差别可忽略不计;汽车直行与拐弯的油耗量相同;汽车行驶的道路平坦无阻，无上下坡。数据采集方法：选择一种实验车型，使其达到固定时速不变，保持这一时速连续行驶 30 分钟，通过汽车的内置油表测出在这 30 分钟内的耗油量，可计算出该速度下此实验车型的百公里油耗。
　　拓展二：探究本实验车型的经济时速是否适合所有类型汽车？不同车型影响经济时速的主要因素是什么？汽车排量和经济时速有无函数关系？函数关系是什么？
　　拓展三：寻找真实生活情境中蕴含的函数关系，构建函数模型解决具体问题。要求：建模过程完整，研究问题明确，结果科学，有研究价值和意义，有自己的创意。
　　6 教学反思
　　通过教学实践可以发现学生不理解什么是“模型假设”，也不擅长作出“假设”，或是不假设和过于假设。相比于作出合理的假设，学生更加习惯于直接去思考如何解决问题。但是，数学建模强调学生在尝试理解和简化问题时，提出猜想及做假设的意识，能做出合理的假设体现了学生“理解和简化问题”的过程。这种猜想和假设的意识在数学建模活动中发挥着双重作用：（1）作为联系现实世界和数学世界的一种桥梁;（2） 在数学建模过程中促进数学模型的形成。所以应在课堂上利用一切机会向学生渗透模型假设的必要性，让学生明白什么是合理的假设、什么是不合理的假设。
　　参考文献
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　　[2] 张景斌，王尚志.中学数学建模活动为中学生创造发展空间[J].数学教育学报，2001（1）：11-14.
　　[3]《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》节选[J].教育科学论坛，2017（20）：3-4.