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MKT背景下《函数单调性》教学应注意的几个问题

更新时间:2016-08-16 所属栏目:论文范文

摘 要:MKT理论提出数学知识在教学中起重要作用。在函数单调性一节中,教师如何理解“任意”、多段单调区间不能用并集表示、单调区间尽量写开区间等问题对教学效果有重要影响。 
  关键词:函数单调性教学;MKT 
  MKT理论是指Mathematical Knowledge for Teaching,译为面向教学的数学知识。对于广大基础教育领域的数学教师而言,数学知识的掌握往往停留在中学水平,即便学习过高等数学,也随着时间的推移逐渐淡忘。然而,正因为没能认识到高等数学知识对初高中教学的指导意义,使得教师在教学中百密一疏,境况囹圄。近日,笔者参加了一节S教师的《函数单调性》教学观摩研讨,对这一节课在教学上易出现的问题进行了整理并对这节课的教学进行了一些思考。 
  一、对单调性定义中“任意”的理解 
  作为单调性定义的核心词,“任意”一词如何理解往往成为这节课的重点和难点。由此可见在对概念理解与说明上,对自变量取值任意性的理解有重要意义。在讲解单调性时,教师往往先给出一个在定义域上单调的函数,如,让学生发现随增大而增大,再给出一个定义域内不单调的函数,如让学生发现任意性和单调区间,进而给出单调区间的定义并归纳出单调性的定义。但是在教学的实际操作过程中往往会出现很多问题。S教师在单调性辨析例题上,提出了这样一道问题。已知的定义域,其中,判断在经过交流后,学生给出的答案是这个函数不具有单调性,因为它不连续。S教师在解释这一问题时,首先说明这个函数是单调增的,因为它满足增函数的定义。其次对于连续的问题简要说明未来学习的基本初等函数都是连续的,不需要考虑连续的问题。 
  对于S教师的回答,我们暂且不管他是否帮助学生纠正了错误,首先他犯了一个知识性错误,即基本初等函数都是连续的。我们知道《数学分析》中介绍过基本初等函数并不都是连续的,比如。正确的说法应该是基本初等函数在其定义域内是连续的。函数是否单调与函数的连续性并没有必然联系,学生认知上的“连续”是不可能达到高等数学中认为的极限值与函数值相等代表连续。因此教师在解释这个问题时,应该慎重运用连续等概念解释,不能用“新课”讲“新课”。 
  二、多段单调区间的表示不能用并集符号 
  对于单调区间,学生往往容易在表示单调区间上犯错,也是单调性部分出错率最高的一部分知识。在讲解单调区间的相关概念时,S教师强调多个单调区间要用“,”链连接,而不能用并集符号连接。当学生追问为什么定义域能取并集而单调区间不可以取并集时,S教师解释为区间不连续。对于这个问题,显然S教师没有搞清楚并集到底是什么意思。对于高中阶段接触的朴素集合论而言,可以理解为用AB两个集合的元素重新合成了一个新的集合。对于定义域,将分段的定义域取并集与按段记录是没有区别的。而对于单调区间则不然,如若将多个单调区间取并集可能会违背单调性中的任意性。 
  对于使用并集符号而不是用“,”连接单调区间与函数的连续性并没有直接关系。在数学中,逗号在连接多个逻辑语句、数学对象时往往代表“和”或“且”。在现行的多版本教材中,均使用“,”连接单调区间。换言之,由于在中学阶段接触的函数都是连续函数或按段连续函数,函数的单调性与函数是否连续无关。如若真想强调连续与单调的关系,应该说明间断点在不应出现在单调区间的端点上,但这不应该在单调性新授课时介绍,应该作为高三复习时选讲拔高的内容。 
  三、单调区间尽量写开区间 
  S教师在讲解到单调区间的表示时还提到一点:单调区间的表示用开区间或闭区间均可,理由是函数的单调性不在一点处讨论。 
  很明显,这种理解是不对的。首先,开区间与闭区间虽然在定义上只相差了一个端点值,但实际在性质上有着巨大差异,实数完备性定理中的魏尔斯特拉斯聚点定理和海涅-博雷尔有限覆盖定理告诉我们闭区间是紧致的,它的任意开覆盖都有有限的子覆盖。我们不能简单地将开区间与闭区间理解成只差一个端点值的问题。而且仅仅是现行人教版高中教材对单调区间的开闭没有要求,高等数学中的单调区间开闭的选取要讨论函数在端点处是否连续,即左极限与右极限是否相等。因此,我们建议在单调区间的表述上一般选用开区间。 
  四、不能用函数图像证明单调性 
  在授课过程中,S教师设置了例题证明函数单调性。证明在学生在解决问题时想到画出函数的图像进而判断单调性。S教师肯定了利用函数的图像可以判断单调性,但不能证明,理由是考试时大题不能用画图像的方法来实现。 
  这位S教师之所以如此回答,说明其对数学学科本身的认识并不高。数学是一门研究数量关系和空间形式的学科,高度抽象及逻辑性是其重要的特点。数学人的世界里判断一个事物符不符合要求只有一个标准:定义,这是学习数学的一个基本常识。高中学生对较为抽象的高等数学接触较少,函数的单调性可以说是其接触的一个较早的抽象性质。学生在学习这部分知识时尚未深度体会数学的高度逻辑性,提出可以画图像判断单调性是正常的,应该在教师授课前的学情分析范围之内。教师应该明确指出数学的学科性质,表明数学中是“六亲不认”,必须用事实说话的,判断事物的唯一标准是定义,必须严格用定义证明。 
  在函数单调性的教学中还有很多数学知识需要注意,如为什么叫函数的单调性而不叫增减性,新授函数的单调性要不要给出导数定义中的差商的式子等等。总的来说,高等数学知识在初高中数学教学中有着重要的指导价值,它能帮助教师在教学过程中更加充分地理解数学知识,形成正确的数学观。只有在数学上有所修炼才能在教学中崭露头角。 


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