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浅谈反例在中学数学教学中的应用

更新时间:2016-09-04 所属栏目:论文范文

摘要:本文在分析反例的来源,反例在数学发展史中的作用的基础上,通过研究几种构造反例的方法,分析了中学数学教学中的反例的广泛应用。 
  关键词:反例;来源;构造;作用 
  中图分类号:G632文献标志码:A文章编号:2095-9214(2016)08-0084-01 
  一、引言 
  在数学发展的历程中,许多命题从正面得不到解决。但是通过举反例反而很轻松的使问题得到了解决,可以说数学证明和反例在数学中发挥着同等重要的作用。通过举一个反例反而可以收到意想不到作用。反例在数学的应用中是指符合给定的某个命题条件,且不符合这个命题结论的例子。也就是说,反例就是寻找出某个命题的对立的一面。数学讲究逻辑,证明要有根据。然而平时说的“证明”,就是为了采用多种方法说服别人相信某个真理,其中的一种方法就是举反例。若是找不反到对立的例子,那么该事件不能不真,如果举出了反例,那么该事一定为假。 
  二、反例的来源 
  在数学教学中,通常会举出一个相反的例子去证明之前的例子是错误的,虽然知道相反的例子在一定条件下是正确的,但在这种情况下是错误的。通常这就是反例证明[3]。 
  反例究竟是通过什么方法得出的呢?反例获取的方法与证明一样,也是需要通过一系列深层次的思维活动,主要包括以下几种方法:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,同时反例也决不可能是凭空捏造的。我们从概念的定义入手,通过分析获得反例是一种最常用的方法,数学中的概念是反映事物本质属性的思维形式。 
  三、反例在数学发展史中的作用 
  “数学反例给人一种刺激,用反例解决数学问题,好像是看一出好的戏剧,使观众感受到兴奋。反例为数学做出了很大的贡献,使得数学具有优雅性和艺术性。这是数学家B·R·盖尔鲍姆的一句,反例以它简单明了、直接肯定的语气,否定了数学中的许多命题,甚至动摇了数学的根基,给整个数学界带来了非常大的震撼,引发了多次数学危机,但是它赢得了最终的胜利,同时它一次又一次的给数学的理论系统注入新鲜血液,推动着数学向前发展。 
  (一)一经典悖论引发的第三次数学危机 
  19世纪末德国数学家康托尔创立了集合论,如今集合论是个基础,是现代数学的基础,它的基本概念已渗透到各个数学领域之中。随着分析的逐渐严格化和集合论的创立,人们对数学基础更加放心的去使用,直到著名的罗素这个理发师发现,有个理发师说,他给不会理发的人理发,那他是否应该给自己理发?这一悖论曾破坏了整个数学大厦的平衡,1931年,欧洲数学家哥德尔推到了“哥德尔不完全性定理”,才保持了这一定理的平衡,使第三次数学危机逐步淡化。然而,这次危机引起了哲学家、逻辑学家、数学家的共同关注,这使得用数学方法研究逻辑以及用逻辑方法数学的研究是20世纪以来促使数学科学的一个发展向导,发展的现代数学学科包括了数理逻辑学、数学哲学等等。 
  四、构造反例的方法[7] 
  (一)用性质构造 
  用反例本身的性质与特点来构造反例被称作用性质构造反例,也就是说并且按照对应的技巧进行反例的构造.康托尔很早以前构造了几乎处处为零的一个导数连续单调函数的例子,称为康托函数. 康托构造的这种函数被人们认为虽然人为因素强,但与数学现成的理论和规律相符合。 
  例4-1周长与面积相等的两个三角形全等。 
  从等面积出发,设两等腰三角形ABC与A’B’C’的底边分别为a与2a,腰上的高分别为2h与h.则两三角形的腰长分别为4h2+a22与h2+a2依据等周长得出等式: 
  a+24h2+a22=2a+2h2+a2 
  求得h=73a,两三角形腰长分别为116a与43a,给a一个确定的值,可以得到一个反例。
  五、结束语 
  运用反例能够培养学生良好的发散性思维和创造性思维。教师在教学中应加大力度培养学生的发散思维,让学生学会运用反例,反过来想问题,找反例,反而可以很快解决问题。 
  (作者单位:西北民族大学) 
  参考文献: 
  [1]B·R·盖尔鲍姆,J·M·H·奥姆斯特德著.分析中的反例.上海科技出版社,1980. 
  [2]M.克莱因著.古今数学思想.北大数学系数学史翻译组译.上海科技出版社,1970. 
  [3]郭要红.反例的来源与潜在功能.数学教学,2003. 
  [4]郭天印.教育科学研究. 教育科学研究,2003(2). 
  [5]罗增儒.学解题引论.西安,陕西师范大学出版社,2003:32-35. 
  [6]李文铭.初等几何教学研究.西安:数学史陕西师范大学出版社,2003. 
  [7]毛鄂涴.反例及其几种构造方法,武汉教育学报,,1999. 
  [8]王荣槐.论文写作与编辑出版.武汉,华中师范大学出版社,1999. 
  [9]严镇军,陈吉范.从反面考虑问题.合肥:中国科学技术大学出版社,1989.


提示:
本文标题为:浅谈反例在中学数学教学中的应用
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