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谈谈凸函数及其应用

更新时间:2017-02-17 所属栏目:论文范文

  摘 要: 凸函数是具有良好性质及广泛应用的一类重要函数,在许多学科分支(如泛函分析、最优化原理、控制论、数理经济学等)中有重要的作用,关于凸函数与凸集的研究已经形成一门专门的数学分支——凸分析.目前有关凸函数的理论十分丰富,而大学数学分析或高等数学教材中往往只有粗浅的介绍,而且定义不尽相同.本文主要探讨凸函数的定义、性质及应用,为进一步理解、掌握凸函数起促进作用.
  关键词: 凸函数 定义 性质 应用
  一、凸函数的产生与发展
  凸函数是一类重要函数,起源于丹麦数学家约翰·詹森(Jensen)和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基,在詹森著述中是这样介绍的:若函数f(x)满足定义域上任意两个数则称f(x)为凸函数.凸函数的产生不仅给人们带来一种新的研究函数的工具,还为函数这个“大家族”增枝散叶,随着凸函数的出现,人们对函数这个概念多了一丝陌生感,,引起人们“认识”的欲望.在詹森定义凸函数后,有不少人对凸函数进行了研究,其中有闵科夫斯基和杜克等人.在凸函数产生的最初阶段,人们对凸函数并不看好,真正引起人们广泛重视的是40至50年代冯·诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究,由于这方面的需要,从50年代初到60年代末人们对凸函数的研究得到较大发展.关于凸函数的研究大多数是围绕凸分析展开的.当时,我国的数学爱好者对凸函数的研究有涉及,那时的代表人物有张晓明、刘光中和胡克等人,他们的研究成果多数以教材形式展示,而且对凸函数的定义有所区别.例如,同济大学高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反.随着科学家求知欲望的增长与艰辛的付出,对凸函数的研究逐步得到深入与完善.
  二、函数的定义及几何意义
  目前对凸函数的理论研究十分丰富,对凸函数所给的定义不尽相同.本文参阅凸函数的国际定义对凸函数做如下定义:
  (一)凸函数的定义
  五、凸函数的性质
  无论是国外还是国内的数学爱好者都对凸函数进行了大量研究,发现了凸函数的许多性质,本文只介绍凸函数的如下四条性质:
  性质1(有界性) 若f(x)为[a,b]上的凸函数,则f(x)在[a,b]上有界.
  性质2(连续性) 若f(x)为区间I上的凸函数,则f(x)在任意点x∈(a,b)?奂I处连续.
  性质3(可导性) 设f(x)在区间I上二阶可导.若f(x)为区间I上的凸函数,则f″(x)≥0(反之也成立).
  性质4(单调性) 设f(x)在区间I上可导.若f(x)为区间I上的凸函数,则f′(x)在I上单调递增.
  六、凸函数性质的应用
  随着科技的发展,人们对凸函数的认识越来越系统,研究越来越全面,应用越来越广泛,因此,深入掌握凸函数的定义、性质及应用是十分重要的.由于我知识有限,因此文中有不足之处,望各位同行不吝赐教.
 


提示:
本文标题为:谈谈凸函数及其应用
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