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运用十字交叉法巧解鸡兔同笼及类型问题

更新时间:2017-02-19 所属栏目:论文范文

  摘 要: 鸡兔同笼是我国古代著名的数学趣题,是现行中学数学教学中的重点问题,教材中是利用方程思想、列表举例等方法处理的。
  关键词: 鸡兔同笼 金鸡独立法 列方程法 列表法 十字交叉解法
  一、引入问题
  大约在1500年前,《孙子算经》记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有二十头,下有五十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思就是:有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数有二十个头,从下面数有五十四只脚,求笼中各有几只鸡和兔。
  二、解法归纳
  事实上解法是多种多样的,我在平时教学过程中总结出运用十字交叉法解决鸡兔同笼这类型问题,此方法更简单易行,下面通过举例对比加以说明。
  1.古代数学家孙子的解法——金鸡独立法
  数学家孙子提出大胆的设想,他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成“独脚鸡”,而每只兔就变成“双脚兔”。这样“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由54只变成27只;这时每只“鸡”有1头1脚数,每只“兔”有1头2脚数。由此可知,有一只“双脚兔”,脚的数量就会比头的数量多1,所以“独角鸡”和“双脚兔”的脚的数量与它们的头的数量之差就是兔子的只数,即27-20=7(只);鸡的数量就是:20-7=13(只)。
  2.现行课本中的解法
  (1)列方程法——方程思想(设鸡求兔或设兔求鸡)
  解:设兔有x只,那么鸡有(20-x),根据题意有:
  4x+2(20-x)=54
  4x+40-2x =54
  x=7
  则鸡的只数为:20-7=13(只)。
  或设兔有x只,鸡有y只,则根据题意有:
  x+y=204x+2y=54
  解得x=7 y=13。
  即兔有7只,鸡有13只。
  (2)列表法——取“中”举例列表
  由于鸡兔共有20只,因此各取10只,接着在列表中根据实际数据确定举例方向。
  如当鸡和兔都为10只时,脚共有60只,而题目中是54只,说明兔子数多了,应减少兔子数,最终找出问题的结果。
  由上表可知,对应的鸡为13只,兔为7只。
  3.十字交叉解法展示
  运用十字交叉法解决鸡兔同笼,其实质是极端思想,向两边走即假设笼中全是鸡,或假设笼中全是兔,而实际上并不全是鸡,也并不全是兔,而是鸡中有兔,兔中有鸡。所以这里出现的54足既有鸡的脚,又有兔的脚,要作为十字交叉法的中间量,具体解决过程如下:
  通过上面几种解法的比较,可以看出十字交叉法显得更简单,只需我们朝两个极端思考,找出中间量与它相减,求比,得答案。这种方法对拓宽学生的解题思维,提高学生创新能力都具有良好效果。下面我把十字交叉法的解题过程用简短的几句话小结出来以帮助学生。
  “鸡兔笼;朝极端;算鸡腿。再极端;算兔腿。中间量;放中间;十字交;大减小。求比例;比例分;得答案”。
  4.变式两例(和鸡、兔同笼是同一个数学模型)
  变式1:小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,求1角和5角的硬币各有多少枚?
  解:假设硬币全是1角,,则总共有27×0.1=2.7(元)。
  假设硬币全是5角,则总共有27×0.5=13.5(元)。
  而实际上硬币既有1角又有5角的,共有5.1元。
  变式2:1998年父母的年龄和是78,哥哥和弟弟的年龄和是17岁,四年后(2002年),父亲的年龄是弟弟的4倍,母亲的年龄是哥哥的3倍,那么当父亲的年龄是哥哥的3倍时是哪一年?
  (提示:4年后,两个年龄和都要加8。此时哥哥和弟弟年龄之和是17+8=25岁,父母年龄之和是78+8=86岁,我们可以把哥哥的年龄看成“鸡”头数,弟弟的年龄看成“兔”头数,由于篇幅,读者根据提示自行解答。)
 


提示:
本文标题为:运用十字交叉法巧解鸡兔同笼及类型问题
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