中国投稿热线
您当前的位置: 中国投稿热线 > 论文范文 >

探究换元法 解决三角函数问题

更新时间:2018-03-12 所属栏目:论文范文

作者:夏仁权 来源:考试周刊 2017年103期
  摘 要:换元法的形式多种多样,在解决三角函数问题时,需要根据实际情况决定应该采用怎样的换元方法,有时直接换元就可以解决问题,有时需要采用整体换元法,在某些难题中,也需要采用特殊换元法,这需要做到具体情况具体分析。
  关键词:换元;三角函数;极值
  换元法在高中数学中有着重要的应用,三角函数问题的解决离不开换元法。对于求三角函数的极值问题,通过换元法可以将三角函数转化为单纯的代数问题,将问题进行巧妙的转化之后,可以化繁为简的解决问题。
  一、 直接换元
  直接换元法简单直接,就是将题目中的某一个三角函数直接用t或者x表示,将三角函数进行转化,得到相应的幂函数。对于幂函数,求极值的方法就比较简单,通过对幂函数进行求导,可以较为容易的得到函数的极值。
  例1 已知函数y=7sinθ+2sinθcosθ,其中0≤θ≤π2,求函数y的最大值。
  解析:令t=cosθ,那么0≤t≤1,则y=1-t2(7+2t),两边同时平方,可以得到新的函数式,为y2=(1-t2)(7+2t)2,可以记f(t)=(1-t2)(7+2t)2,求导得f′(t)=-2(4t-1)(2t+7)(t+2),令导数为0,又由于0≤t≤1,所以t=14。通过判断函数单调性,可知f(t)在t=14处取得最大值,,[f(t)]max=f(14)=15364,所以当cosθ=14时,函数y=7sinθ+2sinθcosθ取得最大值为15158。
  点拨:本题通过换元法求出函数最值,计算比较复杂,但是掌握一些小技巧,可以大大简化计算,比如对于y=1-t2(7+2t),两边同时平方,可以很好的避免对含有二次根式的函數进行求导,简化了计算过程,达到了事半功倍的效果。
  二、 整体换元
  整体换元法注重所求问题的整体,是将一个式子进行整体换元,整体换元的优点在于从全局考虑问题,抓住问题中的关键性条件,通过整体换元,可以大大简化计算过程,提高解题效率,通过以下的例题可以更好的理解整体换元。
  例2 已知sinα+sinβ=22,求cosα+cosβ的最大值。
  解析:令cosα+cosβ=t,则(sinα+sinβ)=t,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=12+t2,化简之后,可以得到(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2(sinαsinβ+cosαcosβ),整理之后可以得到2+2cos(α-β)=12+t2,所以2cos(α-β)=t2-32,由于-1≤cosθ≤1,所以-2≤t2-32≤2,即-12≤t2≤72,化简可得-142≤t≤142,所以cosα+cosβ的最大值为142。
  点拨:本题中将所求的问题进行整体代换,接着通过三角函数的恒等变形,将三角函数的极值问题进行巧妙转化,简化计算的同时提高了解题效率。
  三、 特殊换元
  特殊换元是根据题目中的实际情况对参数进行换元,这类问题一般具有一定的难度,需要对题目中的条件有一个细致的观察,找到各个条件之间的内在关系,同时还需要对题意有较深入的理解,对学生的数学能力有较高的要求。
  例3 若α+β+γ=π2,求sinα+sinβ+sinγ的最大值。
  解析:因为γ=π2-(α+β),所以sinγ=cos(α+β),设sinα+β2=x,则sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+cos(α+β)=2sinα+β2·cosα-β2+1-2sin2α+β2=2xcosα-β2+1-2x2,构造方程y=2xcosα-β2+1-2x2,即2x2-2xcosα-β2+y-1=0,因为x=sinα+β2∈R,所以Δ=4cos2α-β2-8(y-1)≥0,于是又2y≤2+cosα-β2≤3,所以(sinα+sinβ+sinγ)max=ymax=32(此时α=β=γ=π6)。
  点拨:本题的形式虽然比较简单,但是解决问题却很有难度,因为函数三个未知参数,所以采用换元法势在必行,通过换元法构造出所需要的方程,利用一元二次方程的判别式可以很好的解决问题。
  综上所述,换元法的最重要作用在于将三角函数的极值问题进行转化,将繁琐的三角函数极值问题转化为单纯的代数问题。学生在学习换元法时,需要做到举一反三,试着通过换元法解决不同的问题,只有不断的练习才能取得优异的成绩。
  作者简介:
  夏仁权,云南省曲靖市,云南省富源县胜境中学。


提示:
本文标题为:探究换元法 解决三角函数问题
当前网址为:http://www.tougao.net/lunwen/4799.html

本文相关论文

更多>>

热点排行榜

热点期刊关注