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探究直线系方程的巧用

更新时间:2018-04-12 所属栏目:论文范文

作者:刘君 来源:考试周刊 2018年32期
  摘要:直线系方程是解析几何中的一类重要问题,灵活运用直线系方程解题,可以减小计算量,从而达到事半功倍的效果。
  关键词:直线系;平行;垂直;定点
  直线系方程,是指满足某种共同特征的直线方程的全体。直线系方程问题是解析几何中的一类重要问题,灵活运用直线系方程解题,可以减小计算量,从而达到事半功倍的效果。
  直线系方程可以大致分为以下几类:
  1. 与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为:Ax+By+λ=0(其中λ≠C,λ为待定系数)
  【例1】求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
  解法1:由题知直线的斜率k=-23,因为所求直线与已知直线平行,所以它的斜率也是-23。根据点斜式,得所求直线方程是y+4=-23(x-1),即2x+3y+10=0。
  解法2:由平行直线系方程可设l:2x+3y+λ=0(1),又因为直线l过点A(1,-4),代入(1)式得λ=10。故直线方程为2x+3y+10=0。
  点评:解法二设平行直线系方程比解法一设点斜式方程在计算上要简便。
  2. 與直线l:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+λ=0或-Bx+Ay+λ=0(λ为待定系数)
  【例2】已知直线l经过点M(2,-1),且与直线2x+y-1=0垂直,求直线l的方程。
  解法1:设直线l的斜率为k,,直线2x+y-1=0的斜率为k1,由题意知:k1=-2,kk1=-1,解得k=12。又直线l过点M(2,-1),故其方程为y+1=12(x-2),即x-2y-4=0。
  解法2:设直线l的方程为x-2y+λ=0,代入点M坐标得:λ=-4,故l:x-2y-4=0。
  点评:解法1利用垂直直线斜率间的关系,先求其斜率,再用点斜式求出方程;而解法二仅需设出垂直直线系方程,代入点的坐标就求出了待定系数。解法2的计算量明显要小得多。
  3. 过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)或y-y0=k(x-x0)和x=x0
  此直线系方程的第一种表达式即过定点的直线系方程的一般式,它避免了对直线斜率存在性的讨论,但涉及两个参数;第二种表达式即我们经常用到的点斜式方程,它只有一个参数,但要注意对斜率存在性进行讨论。
  【例3】求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程。
  解:设所求直线方程为A(x-2)+B(y-3)=0(A,B不同时为0)。
  显然,当A=0或B=0时,所得直线方程不满足题意,故A,B均不为0。
  当x=0时,y=2AB+3;当y=0时,x=3BA+2。
  根据题意,直线在两坐标轴上的截距相等,则2AB+3=3BA+2,
  令z=AB,则2z+3=3z+2,整理,得2z2+z-3=0,解得z=1,或z=-32,
  则A=B≠0,或A=-32B≠0,故所求直线方程为x+y-5=0,或3x-2y=0。
  点评:过定点的直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制,避免了分类讨论,解法具有通用性,有效地防止解题出现漏解或错解的现象。
  4. 若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交,交点为P(x0,y0),则过两直线的交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(除去l2本身,λ∈R)
  【例4】已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,求证:直线l恒过定点。
  解法1:(恒等式法)直线方程化为:x+y-4+m(2x+y-7)=0,因为m∈R,所以x+y-4=0,2x+y-7=0。解得x=3,y=1,所以直线l恒过定点(3,1)。
  解法2:(特殊直线法)取m=0,m=-1得,x+y-4=0,-x+3=0联立解得:x=3,y=1,将(3,1)代入l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0检验,满足方程。所以直线l恒过定点(3,1)。
  点评:对证明直线系过定点问题,通常有两种方法:
  (1)恒等式法:将直线方程化为关于参数的恒等式形式,利用参数属于R,则恒等式各系数为0,列出关于x,y的方程组,通过解方程组,求出定点坐标。
  (2)特殊直线法:取两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过解这两条特殊直线的交点坐标,并代入原直线系方程检验,即得定点。
  【例5】已知直线l经过两条直线x-y+5=0与x+y-3=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0,求直线l的方程。
  解:设经两直线交点的直线方程为:x-y+5+λ(x+y-3)=0,变形可得:
  (1+λ)x+(λ-1)y+(5-3λ)=0,解得:k=1+λ1-λ。因为1+λ1-λ·32=-1,故λ=-5,
  所求的方程:2x+3y-10=0。
  点评:本题用直线系方程表示所求直线方程,用含参数的式子表示出斜率,然后再利用垂直直线间斜率的关系,求出方程的待定系数,从而最终求得问题的解。这种方法称之为待定系数法,在已知函数或曲线类型问题中,我们都可以利用待定系数法来求解。
  作者简介:
  刘君,甘肃省兰州市,兰州民族中学。


提示:
本文标题为:探究直线系方程的巧用
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