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对2018年高考浙江卷中一道数列试题的变式探究

更新时间:2019-04-07 所属栏目:论文范文

作者:张少华 秦进 来源:考试周刊 2019年27期
  摘 要:针对2018年高考数学浙江卷中第20题,应用探究解析的方法,从解法、变式探究方面进行了研讨,做出了6个变式,获得了一些解法。
  关键词:高考数学;数列;试题;解法;变式
  数列是每年高考数学必考的知识点,都会出现一些趣味的题目。下面对今年浙江卷一道高考数列试题进行探讨。
  2018年高考数学浙江卷中20题:已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,数列bn满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n,,(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式。
  一、 解法探索
  (一) 题分析:欲求等比数列{an}的公比q,由已知a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a4+a5=3a4+4,可得a4=8,a3+a5=20,利用等比数列的通项公式,考虑到q>1,立即可求出公比q=2,问题得解。易知an=2n-1。(解题过程略。)
  (二) 题分析:要求数列bn的通项公式,由于数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n,则当n≥2时,(bn+1-bn)an=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1。
  当n=1时,(b2-b1)a1=3。因此,(bn+1-bn)an=4n-1。由(1)有an=2n-1。所以,bn+1-bn=(4n-1)2-n+1。因而求数列{bn-bn-1}的前n-1项的和,可得bn=-(4n+3)2-n+2+15。
  解:设cn=(bn+1-bn)an,由于數列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n,因此,当n≥2时,cn=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1。又当n=1时,c1=3。故cn=4n-1。由(1)有an=2n-1,因此,bn+1-bn=(4n-1)2-n+1,进而bn-bn-1=(4n-5)2-n+2(n≥2)。
  bn-1-bn-2=(4n-9)2-n+3…b2-b1=3,以上n-1个式子两边分别相加,得
  bn-b1=(4n-5)2-n+2+(4n-9)2-n+3+…+7·2-1+3。
  又b1=1,因此,bn=-(4n+3)2-n+2+15。
  二、 对试题进行变式探究
  对高考数学试题进行变式探究,能够曲径通幽,引人入胜。这对老师培养学生的创造性思维及学生的创造性学习可以起到促进作用。下面进行变式探索。
  变式1 对于数列{an},设其前n项和Sn=∑ni=1ai,求Tn=∑ni=1Si(2018年高考数学天津卷18题(1)题)。
  分析:由原问题(1)有an=2n-1,从而Sn=∑ni=1ai=∑ni=12i-1=2n-1,因此,可得
  Tn=∑ni=1Si=∑ni=1(2i-1)=2n+1-n-2。
  变式2 设dn=an+cn,求数列{dn}的前n项和Sdn。
  分析:由于dn=an+cn,而数列{an}为等比数列,数列{cn}为等差数列,故要求数列{dn}的前n项和,采取重新分组,分成等比数列、等差数列分别求和即可。
  解:由(1)有an=2n-1,cn=4n-1,又dn=an+cn,则Sdn=(a1+c1)+(a2+c2)+
  (a3+c3)+…+(an+cn)=(a1+a2+a3+…+an)+(c1+c2+c3+…+cn)
  =(1+2+22+…+2n-1)+(3+7+11+…+(4n-1))=2n+n(2n+1)-1。
  变式3 设un=cnan,求数列{un}的前n项和Sun。
  分析:un=cnan,数列{cn}是等差数列,数列{an}是等比数列,故可用解决原问题(2)的方法求解。
  解:Sun=3·1+7·2+11·22+…+(4n-1)2n-1,
  2Sun=3·2+7·22+7·23+…+(4n-1)2n。
  上述两式相减,得
  -Sun=4·1+4·2+4·22+…+4·2n-1-(4n-1)2n-1,则Sun=2n(4n-5)+5。
  变式4 设vn=cnan,求limn→+∞vn。
  分析:由于vn=cnan=4n-12n-1是离散函数,则设连续函数f(x)=4x-12x-1,将离散问题连续化。当x→+∞时,f(x)的极限属于∞∞型,利用洛必达法则,问题迎刃而解。
  解:设f(x)=4x-12x-1,则limx→+∞f(x)=limx→+∞4x-12x-1=limx→+∞(4x-1)′(2x-1)′
  =8ln2limx→+∞12x=0。因此,limn→+∞vn=0。
  变式5 设数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且Sn=4an-1+5(n≥2),求其通项公式。
  分析:欲求数列{an}的通项公式,已知其前n项和Sn的表达式Sn=4an-1+5,考虑用an=Sn-Sn-1来求解。
  解:由于n≥2时,Sn=4an-1+5,于是当n≥3时,an=Sn-Sn-1=(4an-1+5)-(4an-2+5)
  =4an-1-4an-2,从而,an-2an-1=2(an-1-2an-2),故an-2an-1=(a2-2a1)2n-2。又a1=3,S2=4a1+5=4·3+5=17,因此,a2=S2-S1=17-3=14。因此,an-2an-1=2·2n。两边同时除以2n,得an2n-an-12n-1=2。这样,数列an2n为等差数列。所以,
  an2n=a12+2(n-1)=32+2(n-1)=4n-12,故an=(4n-1)2n-1。
  当n=1时,a1=(4·1-1)21-1=3;当n=2时,a2=(4·2-1)22-1=14。因此,当n∈N*,an=(4n-1)2n-1,这就是所求的数列{an}的通项公式。
  变式6 设数列{an}的首项a1=3,an=2an-1+4n-1(n≥2),求其通项公式。
  分析1:欲求数列{an}的通项公式,已知了递推关系an=2an-1+4n-1(n≥2),可考虑将问题转换成一个新数列,使其后一项与前一项的差为一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积,从而进行求解。
  解法1 因为an=2an-1+4n-1,等式两边同时除以2n,得an2n-an-12n-1=4n-12n。利用累加法及解原问题(2)的方法可得an=7·2n-4n-7。
  分析2:构造等比数列{an+αn+β},利用待定系数法求解。
  解:设an+αn+β=2[an-1+α(n-1)+β],则an=2an-1+nα-2α-β。①又an=2an-1+4n-1。②由①②两式比较系数,得
  α=4-2α+β=-1,解得α=4β=7。因此,an+4n+7=7·2n,即an=7·2n-4n-7。
  参考文献:
  [1]中国校长网.2018年全国高考数学(理科)试题及参考答案Word版[DB/OL].(2018-06-22).
  [2]张少华,潘永会.对一道高考几何题的探究[J].中学数学教学参考,2015(7):74-76.
  [3]姜旭东.高中数学教学中学生创造性思维能力的培养[J].考试周刊,2018(99):87.
  作者简介:
  张少华,秦进,贵州省遵义市,遵义师范学院,数学学院。


提示:
本文标题为:对2018年高考浙江卷中一道数列试题的变式探究
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