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利用“将军饮马”解决线段最值问题

更新时间:2020-11-21 所属栏目:论文范文

  “将军饮马”模型是解决线段和的最小值,线段差的最大值问题的经典模型,也是陕西中考14题,25题的常考题型。解决此类问题的关键是要理解知识背景及解题思路和策略!
  类型一:两定点在直线的异侧时求两线段和的最小值
  问题1:在定直线L上找一点P,使得P到定点A,B的距离之和最小,即AP+BP的最小值。
  结论:当A,P,B三点共线时(即点P为线段AB与直线的交点时),AP+BP有最小值為线段AB的长!
  证明:在L上任意取一点P’(不与P重合),连接AP’ BP’,在三角形ABP’中有AP’+BP’>AB。所以当A,P,,B三点共线时AP+BP有最小值为AB的长!
  类型二:两定点在直线的同侧时求两线段和的最小值
  问题2:在定直线L上找一点P,使得P到定点A,B的距离之和最小,即AP+BP的最小值。
  结论:作A或者B关于直线L的对称点A’或B’,再连接A’B或者AB’为AP+BP的最小值!
  依据:两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边!
  类型三:两定点在直线同侧时求两线段差的最大值
  问题3:在定直线L上找一点P,使P到A,B的距离之差最大,即AP-BP绝对值的最大值。
  结论:当A,B,P三点共线时(即点P为线段BA的延长线与直线的交点时)AP-BP的绝对值有最大值为AB的长。
  证明:在L上任意取一点P’(不与P重合),连接AP’  BP’ 在三角形ABP’中AP’-BP’的绝对值小于AB。所以AP-BP绝对值的最大值为AB的长!
  类型四:两定点在直线异侧时求两线段差的最大值
  结论:作A或者B关于直线L的对称点转化为类型三即可得出AP-BP绝对值的最大值!
  模型应用:例1:如图:在边长为2的菱形ABCD中,角DAB=60,E是AB边上的一点,且AE=1,点Q为对角线AC上的动点
  解析:(1)求三角形BEQ周长的最小值
  例2:如图:在锐角三角形中,AB=4,角BAC=45,角BAC的角平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值。
  解析:作B关于AD的对称点B’,则BM+MN=B’M+MN。所以当B’、M、N共线且与AB垂直时BM+MN有最小值为B’N的长!


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本文标题为:利用“将军饮马”解决线段最值问题
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